표본화한 이산 신호 의 포락선과 같아지도록 설계하는 방식이다. 즉 아날로그 필터의 임펄스 응답 가 디지털 필터의 임펄스 응답 과 비교할 때 그 특성이 불변하도록 설계한다.
그림 9.12를 살펴보면 허수 축에서 아날로그 주파수는 를 주기로 해서 평면의 단위원으로 반복적으로 매핑됨을 알 수 있다. 따라서 주기 값에 따라서 평면 좌반면에 반복되는 부분 평면의 경계면에서 겹침현상(aliasing)이 발생할 소지가 있다. 다음절에 나오는 쌍선형 변환법은 이러한 단점을 보상할 수 있다.
(2) 쌍선형 변환법은 주어진 아날로그 필터의 전달함수 H(S)의 S값 대신 를 대입한다. 여기서 는 표본화 주기이다. 이 쌍선형 변환은 아날로그 필터의 주파수 특성과 안정성을 디지털 필터에서도 고스란히 유지시키는 장점이 있다. 그러나 쌍선형 변환의 비선형 특성 때문에 주파수 축에 약간의 warping(찌그러짐)이 발생한다.
그림 9.15는 S평면의 좌반면 전체가 Z평면의 단위원의 내부로 한꺼번에 매핑 되고 있음을 보이고 있다. 또한 모든 주파수 허수축의 아날로그 주파수 Ω도 단위원 위로 동시에 매핑되고 있다. 따라서 쌍선형 변환법에서는 aliasing현상이 전혀 발생하지 않는다.
9. 8 (1) FIR필터의 경우으로부터 다음과 같은 전자부품이 필요하다.
i) 현재의 입력 샘플 과 과거의 입력 샘플 을 저장하기 위한 RAM(Random Access Memory)
ii) 필터의 계수 를 저장하기 위한 ROM(Read-Only-Memory)
iii) 2진 데이터를 상호 곱하기 위한 곱셈기(Multilier)
iv) 2진 가산기(Binary Adder) 혹은 ALL(Arithmetic Logic Unit)
(2) IIR 필터의 경우 FIR 필터와 마찬가지로 4가지 종류의 전자부품이 필요하다. 특히, 현재의 출력를 얻기 위해서 현재와 과거의 입력샘플 외에도 과거의 출력 샘플 을 저장하기 위한 RAM이 추가로 요구된다.
그림 9.17은 위의 차분 방정식으로부터 구한 IIR필터의 전달함수 식 (9.6)을 변형하여 구현한 병렬형 구조를 보인 것이다. 여기서 식 (9.11)은 식 (9.6)을 병렬형으로 변형시킨 결과이다.
9. 9 (1) Butterworth 필터의 Squared magnitude function은 다음과 같다.
(2) Chebyshev 필터의 Squared magnitude function은 다음과 같다.
은 N차 Chevyshev polynomial이고 다음과 같이 정의된다.
(3) Elliptic 필터의 Squared magnitude function은 다음과 같다.
은 Jacobian elliptic 함수이다.
9. 10 : 기존의 LPF , : 기존 필터의 차단주파수
: 원하는 사양의 필터, : 원하는 사양의 차단주파수
i) 원하는 사양의 LPF
여기서
ii) 원하는 사양의 HPF
여기서
iii) 원하는 사양의 BPF
여기서
는 원하는 사양의 하측 상측 차단주파수
iv) 원하는 사양의 BSF
여기서
는 원하는 사양의 하측 상측 차단주파수