과 닮았다고 말할 수 있다.
(2.18)
(2.17)식에서 거치적거리는 를 떼어 놓고 그 자리를 빈 채로 남겨 놓으면 다음과 같은 관계가 얻어진다.
(2.19)
이 식의 우변은 연산자 이므로 대신에 K를 썼다. 이연산자는 어떤 함수의 2차 편도함수를 구하고 거기에다 을 곱한 다음에 전부 합하라는 말과 같다. 고전 역학의 관계식 (2.18)식과 (2.19)식은 유사하다고 볼수 있다. 즉, 고전적인 에 대응하여 양자 역학에서는 연산자 K가 존재한다. 그리고 고전적인 운동량 를 써서 운동량의 연산자를 구할 수 있다. 즉, (2.18)식과 (2.19)식을 비교하여 다음의 식을 얻을 수 있다.
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여기서 이다. 따라서 세 방향의 운동량에 대한 연산자는 다음과 같다.
(2.20)
이 모든 것이 복잡하게 느껴질지는 모르겠지만 한걸음 더 나아가 보면 ((2.17)식을 써서 총 에너지 를 계산하여 보자. V는 퍼텐셜 에너지로서 일반적으로 좌표의 함수이다. 그러면
(2.21)
(2.21)식은 다음의 식과 같이 간단한 연산자 꼴로도 쓸 수 있다.
(2.22)
(2.21)식이나 (2.22)식을 Schrodinger 방정식이라고 부르는데, 이것은 에너지 보존에 관한 다음 고전 역학의 관계식과 비슷하다.
(2.23)
따라서 결론적으로 schroding 방정식은 처음에 나온 고전적 식의 양자 역학적으로 대응식인 것이다.
< 정규화 된 파동함수 >
위의 (2.11)식을 보면 편미분방정식이 흔히 있는 실수와 허수로 되어 있는 복소함수의 해를 갖는다는 것이다. 그런데 우리가 측정하는 물리적 양은 실수이다. 이 식의 양변에다 의 공액 복소함수를 곱하면 실수만을 포함하는 식으로 바꿀 수 있다. 즉 아래의 식과 같이 된다.
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여기서 E는 상수이고, 또 이고 이며, 따라서 이 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
(2.24)
실수만을 포함하는 이 식을 유도하였으니 잠시 다른 문제를 생각하여 보자.
1차원에서 운동하는 고전 알맹이의 간격 X에서의 평균 퍼텐셜 에너지를 계산한다고 하자. 그러면 V가 x만의 함수일 경우 미적분학의 평균치 이론에 의해서 그 평균치가 다음과 같이 된다.
여기서 dx/X는 x와 x+dx 사이에서 알맹이가 발견될 확률이다.
만일 V가 세 좌표의 함수일 때는 이 식을 다음과 같이 쓸수 있다.
여기서 d는 부피의 미분 요소이며, 는 x,y,z인 점에서 알맹이를 발견할 단위 부피당 확률이다.
이와 비슷한 조작을 (2.24)식에 대해서도 할 수 있다. 즉, 우선 이 식에다 부피의 미분요소
d 를 곱하여 준다.
만일 을 단위 부피당 확률이라고 볼 것 같으면, 우변의 둘째 항은 점 x,y,z 에서의 퍼텐셜 에너지에다 그 점을 포함하는 부피 요소에서 알맹이를 발견할 확률을 곱한 것과 같게 된다. 전 공간에 대하여 적분을 하면 둘째 항이 평균 퍼텐셜 에너지가 되어야 한다. 즉,
(2.25)
이 적분은 전 공간에 대한 것이며, E는 상수이기 때문에 적분 기호 밖으로 내놓았다. 확률 밀도 에다 d 를 곱한 것의 총합은 알맹이를 발견할 전체 확률이 되어
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야 하며, 알맹이는 공간 어느 곳엔가 반드시 존재하여야 하므로 전체 확률은 1이 되어야한다.
(2.26)
(2.15) 식을 정규화 조건이라고 부르며, 이러한 조건을 만족시키는 를 정규화 된 파동함수라고 부른다. 따라서 (2.25)식은 다음과 같이 된다.
또는 대칭적으로 써서
(2.27)
이 식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.
(2.28)
여기서
(2.29)
와 는 평균치이며, 이들은 고전 역학적 성질과 아주 비슷한 성질들이다. 이제 우리는 파동함수에다 이름을 붙일 수 있게 되었다. 즉, 이 확률 밀도이므로 는 확률 진폭이라고도 부른다.
따라서 schrodinger 방정식 (2.21)은 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
(2.30)
여기서
Hamilton 연산자 H는 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지에 대한 연산자들의 합이며,
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따라서 계의 총 에너지에 대한 연산자인 것 이다.
따라서 파동함수 가 계의 상태 함수가 되려면 다음과 같은 세 가지 조건을 만족하여야 한다.
① 파동함수 는 단일 값이어야 한다. 즉, 어떠한 공간의 어떠한 점에서나 하나 의 값만을 가져야 한다.
② 파동함수 나 일차 도함수는 연속이어야 한다.
③ 파동함수 의 제곱적분 이 가능해야 한다. 즉, 의 각 값에 대하여 제 곱적분 값이 단일 값을 가져야 하고 유한해야 한다.
3. 요약
한마디로 말해서 schrodinger 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
이 미분 방정식을 풀면 알맹이의 성질인 파동 함수 를 얻을 수 있다. 이 파동 함수는 그 자체로서는 아무런 물리적 뜻도 갖지 않는다. 그러나 라는 양의 점 x, y, z에 있는 부피 요소 속에서 알맹이를 발견할 확률이라고 해석할 수 있다. 파동 함수는 연속적이므로 이러한 해석에 따를 것 같으면, 공간 속의 어느 곳이든 모두 알맹이를 발견할 유한한 확률을 가지게 된다. 알맹이가 완전히 편재되어 있다고 보는 고전 개념과는 현저하게 대조적인 결론이다. 예로서 수소원자에 대한 Bohr 모형과 Schrodinger 모형은 개념적으로 볼 때 완전히 상이한 것이다. 즉, 우리의 몸 크기를 줄일 수 있어서 Bohr원자의 핵에 올라앉았다고 하면, 핵 주위를 반경 인 원 궤도에 따라서 돌고 있는 전자를 볼 수 있을 것이다. 그러나 Schrodinger 원자의 핵에 앉았을 때는 음전하의 안개를 보게 될 것이다. 핵 근처에서는 이 안개의 밀도가 크지만, 핵에서 멀어질수록 점점 엷어질 것이다. 그리고 원자 반경의 몇 배쯤 되는 거리에서는 구형의 음전하 구름이 보일 것이고, 예민한 눈에는 이 구름의 중심에 있는 핵이 보일 것이다. Bohr의 원자 모형에서는 전자가 마치 유성 주위의 위성처럼 궤도 운동을 하며, Schrodinger의 원자 모형에서는 전자가 구름을 이루고 있는 것과 같다.
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4. 참고문헌
: 핵심물리화학 (신재순. 이순기. 강춘형. 김영대 공역),
기본물리화학 (김일두. 박성규 편저),
물리화학 한자로 (G.W.Castellan),
네이버 지식인 (www.naver.co.kr) 등 참조
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