곱해 진 상태에서 로 구해야 한다.
>> n1=[1 5.8]; d1=[1 0]; %전달함수 형성
>> sy1=tf(n1, d1)%전달함수 표현
Transfer function:
s + 5.8
-------
s
>> [nt, dt]=series(n1, d1, n, d)%G(s)와 결합
>> sys=tf(nt,dt)% 표현
Transfer function:
s + 5.8
-------------------
s^3 + 11 s^2 + 24 s
>> rlocus(nt,dt);
극점 : p = 0, -3, -8
영점 : z = -5.8
근의 위치 :
그러므로 PI 제어기의 함수 와 를 합치면
이 된다.
>> na=[23.28 135.0240];% 의 분자항
>> da=[1 11 24 0];% 의 분모항
>> sy3=tf(na,da)% 의 전달함수 정의
Transfer function:
23.28 s + 135
-------------------
s^3 + 11 s^2 + 24 s
>> [nq, dq]=cloop(na, da, -1);% 를 가진 단위 궤환 값
>> sy4=tf(nq,dq)% 전달함수 재정의
Transfer function:
23.28 s + 135
----------------------------
s^3 + 11 s^2 + 47.28 s + 135
>> step(sy4,t)% 폐루프의 계단입력에 대한 출력
오버슈트 22.1% 으로 원하는 오버슈트보다 높게 출력이 되었다.
정착시간 1.88s 은 원하는 정착시간 2s 보다 적게 나와 조건을 만족 한다.
오버슈트 : 22.1%
상승시간 : 0.335s
정착시간 : 1.88s
정상 상태오차 : 0 (마지막 값이 1이므로)
>> u=t; lsim(sy4,u,t)% 폐루프 시스템에서의 램프 입력에 대한 출력
>> bode(sy3,w)% 개루프 시스템에 대한 보드선도
>> [mag,phase]=bode(sy3,w);
>> [Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)
% Gain margin/Phase crossover frequency
% Phase margin/Gain crossover frequency
Gm =
2.5325e+007
Pm =
46.3210
wcg =
2.4281e+004
wcp =
3.7703
>> w=logspace(-1,4,50);
>> bode(sy4,w)% 폐루프 시스템의 보드 선도
>> fb=bandwidth(sy4)% 폐루스 시스템에서의 대역폭
fb = 6.0534
6. 결과 및 토의
드디어 자동제어 실험 마지막 레포트가 되겠다.
이번 레포트는 셈툴이 아닌 매트랩을 이용하여 사용하였으며, 아이러니하게 셈툴 관련 서적 5권을 참고하여 코드를 인용하였다.
이 레포트는 주어진 개루프 이득을 가지고 개루프에 대한 보드선도를 통해 이득여유, 위상여유를 찾는 것과 폐루프에서의 대역폭을 찾는 것이 첫 번째로 해야 할 사항이며 두 번째로는 P제어기와 PI제어기를 통해 주어진 조건 오버슈트 20%와 정착시간 2s를 만족시키는 것이 목표이다.
처음에 개루프 이득을 분석 할 때 보드선도를 보고 분석을 하였다. 여유(마진)은 매트랩함수 margin을 통하여 구하였다. 이때 위상마진과 위상마진이 발생하는 주파수는 찾을 수 없었다. 그러한 이유는 함수의 크기가 0을 지나는 지점이 없이 언제나 (-)dB를 갖기 때문이다. 그래서 우리가 P 또는 PI제어기를 이용하여 안정하게 만드는 것이 목표이겠다.
P제어기는 비례상수 를 분자항에 곱하여 설계를 할 수 있는데 우리의 목표가 오버슈트 20% 이기 때문에 거의 20% 일 때의 를 찾았다. 물론 이는 계산이 아닌 경험상으로 구해진 이다.
그전에 앞서 에 120으로 설정하기 전에 의 증가에 따른 폐루프일 때 계단 입력에 대한 출력을 조사해 보았다. =10, 25, 40 일 때를 동시에 조사해 보았을 때 가 증가할수록 오버슈트가 증가하는 것을 알 수 있었고, 상승시간, 정착시간과 정상상태 오차는 줄어듦을 확인 할 수 있었다. 이는 두 조건을 만족하는 수치였다.
그리고 보드선도를 통해 여유를 알아 봤을 때 개루프의 결과와는 달리 위상여유가 58.76정도가 생겨 안정해짐을 알아볼 수 있었다.
PI제어기는 원점에 존재하는 극점 하나와 실수축선상에 존재하는 영점으로 이루어져있다. 이때 영점은 두 조건으로 인해 나온 근을 토대로 각도 조건을 만족하는 영점의 위치를 구할 수 있었다. 극점과 영점의 위치를 찾았고 그 후 PI제어기의 이득 K를 구하는 것이 중요한데 이는 각 극점의 길이의 곱에 각 영점의 길이의 곱을 나누어 주면 이득 K를 구할 수 가 있다.
그렇게 구한 PI제어기의 함수를 처음의 개루프 이득을 곱하여 근궤적을 새로 구하여 주면, 근궤적이 약간 안쪽으로 들어오면서 정착시간()과 첨두치 시간()을 조절할 수 있게 하여 준다.
하지만 이렇게 구한 PI제어기의 결과는 아쉽게도 오버슈트에서 약간의 오차가 발생하여 20%에서 조금 넘는 수치를 보여주었다. 이는 계산식에서의 오류가 아니면 계산과 실질적인 현상으로 인한 것으로 보여 지는데 이는 이득 K를 조금 조절함으로써 P제어기를 사용할 때의 결과를 토대로 오버슈트를 개선시킬 수 있을 것이다.
이렇게 여태껏 우리가 배운 내용을 이용하여 불안정한 신호를 안정하게 만듦으로서 여러 가지 결과를 얻을 수 있었다. 오버슈트, 정착시간, 첨두값 시간과 정상상태오차 같은 결과물들을 조절할 수 있었다.
이번 마지막 레포트를 하면서 뭔가 아쉬웠던 점은 P제어기에서 뿐만 아니라 PI제어기에서도 여러 K의 값에 대해 여러 결과를 도출해볼걸 이라는 생각이 든다.
어쨌든 한학기 동안 여태까지 해왔던 실험과는 다르게 정말 스스로 즐겁게 하였다 라는 생각이 들 정도로 재미있었고, 매우 흥미로웠던 실험이였다.
한학기 동안 수고하신 울르그벡 교수님, 정용일 조교님 정말 수고 많으셨습니다.
참고서적
제어시스템 분석과 MATLAB의 활용 정슬 지음 [청문학]
CEMTool 제어공학황우현 권욱현[멀티정보사]
CEMTool MATLAB 활용법 자동제어공학정대원[두양사]
제어시스템해석 및 설계한태환[기전연구사]
제어시스템의 설계황우현[대광서림]