방정식의 의미
유도된 슈뢰딩거 방정식과, 그 일반해를 1차원금속 내의 자유전자에 대해 생각해 보면,
다음과 같은 경계조건을 도출할 수 있다.
1). 파동함수는 x=0, x=L에서 0으로 된다. 1차원고체의 끝단에서는 위치에너지 장벽이 무한히 높아 금속외부에서 전자를 발견하게 될 확률이 없기 때문이다.
2). 금속 내부의 어느곳에서 전자를 발견하게 될 확률은 1이다.
이 두 경계조건을 방정식의 일반해에 적용시키면 다음과 같이 된다.
우선 경계조건 1-1을 대입해보면,
즉, A=0
따라서,
이 식에 경계조건 1-2를 대입해보면
이 식은 B가 0이거나, 2L/λ가 정수일때 만족된다.
B가 0이라면 금속내부에 전자가 전혀 없다는 무의미한 식이 되므로 2L/λ이 정수일 경우만을 생각하기로 한다.
(n=1,2,3,4...)
이것은 금속내의 자유전자에 대한 파장이 임의의 값을 가질 수 없다는 사실을 의미한다.
전자의 운동에너지는 드 브로이 파장으로 표시될 수 있기 때문에 파장이 양자화되어있다는 사실은 운동에너지 역시 양자화 되어있다는 사실을 나타낸다. 즉 전자의 에너지는 임의로 택할 수 없고 일련의 불연속적인 값들 중 한 값을 갖게 된다는 결론을 얻을 수 있다.